Systemy 12-, 15- i 60-kowe a 10-tny – 1

Opublikowano: 31.10.2021 | Kategorie: Nauka i technika, Publicystyka, Publikacje WM

Liczba wyświetleń: 1392

Od pewnego czasu spotykam się na różnych portalach i na YTube z przedziwnymi tezami o wyższości matematyki opartej na systemach 12-tkowym, 15-tkowym a nawet 60-tkowym nad tym ponoć „zmanipulowanym” systemem 10-tnym, w którym wszystko jest ponoć trudno policzyć. Zaintrygowało mnie to i przysłuchałem się argumentom, bo pracuję jako inżynier i obliczenia to moja codzienność. Z matematyką też nie jestem na bakier, jako że to olimpiady z matematyki i z fizyki dały mi bez egzaminu wstęp na dowolne techniczne studia w Polsce. Więc zaczynamy.

Oto tezy do zbadania (dodam, że nie wszystkie baz sensu)…

Teza 1 – zmanipulowana nieprawdziwa matematyka

Ktoś kto to twierdzi zapomniał, że matematyka ma bardzo wiele dziedzin. Posługiwanie się liczbami to jeden tylko maleńki dział zwany arytmetyką.

Cała reszta ogromu gmachu matematyki, które służą opisywaniu zależności w samej matematyce, w astronomii, chemii, biologii, elektryce, ciepłownictwu, propagacji fal … – czyli w sumie szeroko pojętej fizyce nie zajmuje się tym jak zapisujesz liczby, jakiego systemu liczenia użyjesz. Rachunek różniczkowy, całkowy, transformacja Fouriera, transformacja Laplace’a, rachunek prawdopodobieństwa i mnóstwo innych – nie używają i nie specyfikują systemu liczenia.

Jeśli na papierze liczysz to będzie pewnie system dziesiętny, a jeżeli na komputerze to zapewne dwójkowy. Wynik jednak zawsze będzie opisywał dokładnie tę samą wielkość. Matematyka daje ścisły język do opisu zależności między zjawiskami – wzory. Jak je policzysz to już każdego osobista sprawa. Możesz użyć dowolnej arytmetyki. Gdyby tak nie było to przy wzorach byłoby zastrzeżenie, że „wzór musi być liczony tylko w np. systemie 12-tkowym”. Takie zastrzeżenie można sobie wyobrazić tylko w… arytmetyce, bo to tylko ten dział tym się zajmuje.

Wynik: teza fałszywa.

Teza 2 – arytmetyka 12,15,60-tkowa jest dokładniejsza w obliczeniach

To zależy co liczymy, a właściwie jak używamy arytmetyki. Jeśli wiemy jak poprawnie używać arytmetyki to każdy system liczenie jest tak samo dokładny. Wszystkie systemy są 100% tak samo dokładne w obliczeniach dających wynik całkowity, czyli mnożenie, dodawanie, odejmowanie, potęgowanie, silnia… Inaczej sprawa ma się z dzieleniem, kiedy otrzymujemy ułamki. Zapis ułamków w rozwinięciu po przecinku może być nieskończony i ucięcie tego zapisu wprowadza obliczeniowy błąd.

Weźmy pod lupę np. system 12-tkowy:

A) Zapis 1/3

1/3 dziesiętnie = 0,33333…
1/3 dwunastkowo = 0,4 dokładnie – wynik dokładny bez obcinania cyfr.

No dobrze, system 12-tkowy pokazał tu przewagę. Testujmy dalej, np. 1/5.

B) Zapis 1/5

1/5 dziesiętnie = 0,2 dokładnie
1/5 dwunastkowo = 0,249724972497… – i trzeba zapis uciąć. Albo zaokrąglić do 0,25, ale to już zaokrąglenie a nie dokładna wartość.

Punkty A i B pokazują, że wszystko zależy z jakim ułamkiem mamy odczynienia. Zależy czy mianownik ułamka jest podzielnikiem liczby systemu liczenia czy nie. Jak nie jest podzielnikiem, to rozwinięcie będzie nieskończone. Jednak znając arytmetyczne metody zapisu liczb można zapisać oba przypadki zawsze dokładnie:

1/3 dziesiętnie = 0,3(3) dokładnie
1/5 dwunastkowo = 0,2(4972) dokładnie

Dlatego w tej kwestii nie ma zwycięscy. Żaden system liczenia nie jest ani bardziej dokładny ani mniej. Zależ to tylko od nas samych, ile cyfr chcemy praktycznie policzyć. Ponadto zapis każdej liczby wymiernej (która jest ułamkiem całkowitych wartości) da się zapisać DOKŁADNIE w rozwinięciu po przecinku zaznaczając co jest jej okresem w nawiasach.

Moje praktyczna uwaga: kiedy ja liczę i badam proporcje liczb całkowitych, które się nakładają i nawarstwiają w bardziej złożone liczby to pozostawiam je w postaci zapisu ułamkowego. Prowadzę obliczenia w ułamkach. Obliczam wartość tego ułamka dopiero na samym końcu dla ostatecznego wyniku. Stąd poprzez wszystkie obliczenia mam liczby całkowite a te nie są w ogóle wrażliwe na system zapisu jakiego się używa.

Wynik: teza fałszywa.

Teza 3: To co nie da się zapisać dokładnie dziesiętnie da się w innym systemie

Czyli liczby rzeczywiste kontra wymierne. Jest to pogłębienie tezy 2 bo odpowiedź o dokładność obliczeń jeszcze nie jest wyczerpana, bowiem większość liczb rzeczywistych nie jest liczbami wymiernymi!

Otóż pytanie w tej tezie idzie głębiej: „czy korzystamy na zapisie liczb niewymiernych stosując inny system liczenia?”. Byłoby tak gdyby w jakimś systemie liczenia dana liczba niewymierna dała się zapisać jako skończony ciąg lub ciąg z powtarzającym się okresem, który byśmy mogli dokładnie wyeksponować w nawiasach. Do niewymiernych liczb należą takie popularne znane jak Pi, Fi, e, pierwiastek z 2, pierwiastek z 3, …i wiele innych. Patrz Stałe Matematyczne [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lista_sta%C5%82ych_matematycznych].

Popatrzmy na to w ten sposób: Jeżeli da się jakąś liczbę zapisać z powtarzającym się okresem w systemie liczenia o podstawie „P”, to wystarczy ją przemnożyć przez potęgę podstawy liczenia na tyle dużą, by cyfry w okresie otrzymać zaraz po przecinku.

Weźmy przykład zapisu takiej liczby, gdzie „abcd…” to cyfry w okresie:

L = z.y(abcd…)

Część stała liczby z i y nie są istotne, istotny jest okres (abcd…). Pytanie jest czy w jakiś systemie liczenia „P” jest to zapis niewymiernej liczby. Przeskalujmy tę liczbę tak, by okres jej zaczynał się zaraz po przecinku:

L = (zy + 0.(abcd..) ) / P^k
k oznacza ilość cyfr „y”. Znak „^” oznacza potęgowanie.

Ponieważ zy jest całkowita, więc pozostaje zbadać tylko czy okresowy ciąg cyfr jakiegoś systemu liczenia 0.(abcd…) może być niewymierny, czyli może dokładnie zapisać liczbę niewymierną. Wtedy ten system miałby znaczącą przewagę w dokładności obliczeń. Niech „n” oznacza ilość cyfr okresu „abcd…”

L2 = 0.(abcd…) = abcd… / P^n + abcd… / P^(2*n) + abcd… / P^(3*n) + abcd… / P^(4*n) +…
= abcd…  *(1/P^(1*n) +1/P^(2*n) +1/P^(3*n) +1/P^(4*n) +…

Ponadto oznaczmy:

L1 = zy /P^n

Czyli:

L = L1 + L2

L1 jest wyrażone ułamkiem liczb całkowitych, więc jest z oczywistych względów liczbą wymierną.

By zapisać liczbę L2 dokładnie:

L2 = abcd…  *Suma(1/P^(i*n), dla i = od 1 do nieskończoności)

Podstawmy „x” za „P^n”, wtedy zapis się upraszcza. Ponadto podstawmy „A” za liczbę abcd…:

L2 = A * (1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 +…)
L2 = A * Suma(1/X^(i), dla i = od 1 do nieskończoności)

Zauważmy, że „A” i „x” są liczbami całkowitymi. Zagadką pozostaje tajemnicza suma „S” odwrotności potęg:

S = Suma(1/x^(i), dla i = od 1 do nieskończoności)

Ale kto umie dzielić wielomiany zauważ, że:

S * (x-1) = x*S – S = x*(1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 +…) – (1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 +…)

Policzmy sam iloczyn x*S:

x*S = x*(1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 +…)
= x/x + x/x^2 + x/x^3 + x/x^4 +…
= 1 + (1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + 1/x^4 +…)
= 1 + S

Piękne prawda?

x*S = 1+ S

Więc podstawmy to pod L2:

L2 = A * S
= A* S(x-1) / (x-1)
= A * (x*S – S) / (x-1)
= A * (1 +S – S) / (x-1)
= A * 1/ (x-1)
= A * 1/ (P^n -1)

Tak więc L2 udało się wyrazić jako ułamek liczb całkowitych:

L2 = A * 1/ (P^n -1)

Liczby całkowite są całkowite bez względu na wybrany system liczenia z podstawą całkowitą. Ten ułamek można policzyć teraz w dowolnym innym systemie liczenia i będzie nadal liczbą wymierną.

Wniosek: Liczba wymierna ma zapis okresowy w każdym systemie liczenia.

Wynik: teza fałszywa.

Mamy wynik 0:3. W następnym odcinku zajmiemy się tezą o korzyściach w liczbach pierwszych, a potem, gdzie na prawdę jest korzyść i to was zaskoczy oczywistą ta korzyść jest.

Autorstwo: Swami Saishiva (Mirek Kobak)
Źródło: WolneMedia.net

1 gwiazdka2 gwiazdki3 gwiazdki4 gwiazdki5 gwiazdek (Liczba ocen: 7 , średnia ocena wartości wpisu: 4,29 na 5 możliwych)
Loading...

TAGI:

Poznaj plan rządu!

OD ADMINISTRATORA PORTALU

Hej! Cieszę się, że odwiedziłeś naszą stronę! Naprawdę! Jeśli zależy Ci na dalszym rozpowszechnianiu niezależnych informacji, ujawnianiu tego co przemilczane, niewygodne lub ukrywane, możesz dołożyć swoją cegiełkę i wesprzeć "Wolne Media" finansowo. Darowizna jest też pewną formą „pozytywnej energii” – podziękowaniem za wiedzę, którą tutaj zdobywasz. Media obywatelskie, jak nasz portal, nie mają dochodów z prenumerat ani nie są sponsorowane przez bogate korporacje by realizowały ich ukryte cele. Musimy radzić sobie sami. Jak możesz pomóc? Dowiesz się TUTAJ. Z góry dziękuję za wsparcie i nieobojętność!

Poglądy wyrażane przez autorów i komentujących użytkowników są ich prywatnymi poglądami i nie muszą odzwierciedlać poglądów administracji "Wolnych Mediów". Jeżeli materiał narusza Twoje prawa autorskie, przeczytaj informacje dostępne tutaj, a następnie (jeśli wciąż tak uważasz) skontaktuj się z nami! Jeśli artykuł lub komentarz łamie prawo lub regulamin, powiadom nas o tym formularzem kontaktowym.

3 komentarze

  1. Komzar 31.10.2021 14:34

    No tak, ale to z punktu widzenia samych liczb.
    Spójrzmy na problem inaczej. Jakiej “arytmetyki” użyto przy konstrukcji świata fizycznego? Bo matematyka służy nam głównie od opisu fizycznej części świata.
    Znacznie ważniejsze jest by umieć zmieszać ze sobą dwa składniki i policzyć ilości w jednostkach całkowitych, tak by reakcja przebiegła całkowicie (co do elektronu) niż w czymś co jest dla nas wygodne ale zawsze wynik jest ułamkiem niewymiernym rzeczywistości.
    Przykładem jest liczba Pi. Dlaczego coś co jest bardzo fizyczne jak okrąg i promień tego okręgu w naszym systemie licznie dzieli się niewymiernie? Z konstrukcyjnego punktu widzenia to nie ma sensu, bo nigdy nie dało by się zbudować okręgu w oparciu o jego promień.

  2. Szwęda 31.10.2021 17:55

    Liczby, matematyka itd – to czyste jakieś diabelstwo, o wiele szczęśliwszy byłby człowieczek gdyby posługiwał się poezją, kolorami, zapachem, może jakimiś znakami ale dzięki którymi mógłby utrwalać, przekazywać swoje uczucia, przemyślenia, poezję, swoją duchowość itd… A, tak, z jakiejś chorej żądzy władzy, chciwości i innych ciemnych instynktów chcąc wszystko obliczyć doszedł w końcu do lichwy i powolnego wyniszczania samego siebie i tej natury na której wyrósł.

  3. Cami 01.11.2021 20:26

Dodaj komentarz

Zaloguj się aby dodać komentarz.
Jeśli już się logowałeś - odśwież stronę.